O que é a Lemniscata de Bernoulli ?

sexta-feira, 25 de maio de 2012

O que é a Lemniscata de Bernoulli ?

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

$(x^2 \ + \ y^2)^2 = 2 \ a^2 \ (x^2 \ - \ y^2)$

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

$r^2 = a^2 \cos 2\theta\,$

pela respectivas coordenadas bipolares,

$rr' = \frac{a^2}{2}$

ou pela equação paramétrica:

$x = a \cos t \sqrt{2 \cos (2t)}; \qquad y = a \sin t \sqrt{2 \cos (2t)}$

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ( $\infty$ ).

A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).

Imagen de leminiscata: