O QUE É UM TORO?

Toro ou Toróide - é um espaço topológico homeomorfo ao produto de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de um pneu. Em geometria pode ser definido com o lugar geométrico tridimensional dos pontos que distam r de uma circunferência.
Formas de construir um toro

Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.

Geometria

Um toro pode ser imerso no $\mathbb{R}^3\,$ como uma superfície algébrica do quarto grau.
Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:

$x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

em que

u, v estão no intervalo [0, 2π],

R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,

r é o raio do tubo.

Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!$

eliminando a raiz quadrada, chega-se a:

$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!$

A área da superfície e o volume do interior são dados por:

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro circular de altura 2πR e raio da base r. Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.